Pesadelos com aplicações lineares.

Seja F um espaço linear normado completo, e f uma aplicação linear.
Então se fizermos h->0
|f(x+h)-f(x)|=|f(x)+f(h)-f(x)|=|f(h)|.
Como f é linear, h->0 implica |f(h)|->0.

Será isto sempre verdade?
Bem... se fosse, não faria sentido definirem-se dois espaços duais: O espaço dual algébrico e o espaço dual contínuo!
Por outras palavras: existem aplicações lineares que não são contínuas.
No ano passado houve uma prof no mestrado que me atira à cara:
"ah.. não pode aplicar teoremas da álgebra aqui".
O mal destes profs é que não justificam convenientemente o que dizem.
Simplesmente porque recorrendo a teoremas de álgebra garanti a existência de aplicações lineares que eram necessárias.
Por acaso continuo a achar que naqueles espaços as aplicações lineares são contínuas e que não tinha mais nada a justificar.

Será que eu preciso de professores assim?
Bolas é necessário torturar assim as pessoas? Se uma pessoa não sabe, que tal tentar fazer a pessoa chegar à resposta, tipo... mostrando o caminho!
Bom... agora vem o momento em que me pedem o exemplo de uma aplicação que seja linear mas não seja contínua.
Vão à wikipédia:
Discontinuous Linear Maps