Á procura de bases em espaços lineares estranhos... (parte I)

Recentemente, no mestrado deparei com os espaços que se seguem.
Numa das cadeiras (Elementos Finitos e Aplicações) as bases nem foram dadas, e tive de as deduzir eu... Tive um trabalho muito maior do que aquele que aqui apresento.

O espaço das funções contínuas afins por troços num intervalo.

Graficamente, são funções com o aspecto da figura que se segue.
Só a título de curiosidade, note-se que neste espaço estão todas as funções afins (funções do tipo
f(x)=ax+b
)
logo, é um espaço "grande".

Primeira tentativa

A primeira coisa que fiz, foi o que qualquer aluno de álgebra linear de 1º ano de uma licenciatura pré-bolonhesa faria: tentar obter uma expressão geral para os elementos daquele espaço, e a partir daí deduzir uma base.
Tive sorte. Tive sucesso à primeira tentativa.

Há uma forma mais simples e mais rápida de deduzir as bases destes espaços, principalmente se impusermos condições "de fronteira". Neste momento não a posso escrever por problemas de ordem técnica (Nem tenho um scanner por perto...)