A importancia do teorema do valor médio de Lagrange

Todos conhecemos teoremas de valores médios. Como os teoremas de Bolzano, de Rolle, de Lagrange, de Cauchy.
Ok, para quem não está a ver o teorema de Bolzano como um teorema de valor médio, que o enuncie assim:

Se f é contínua em [a,b] então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que:
f(c) pertence a [min{f(a),f(b)};max{f(a),f(b)}]

O teorema de Lagrange em particular tem generalizações em espaços de dimensão N e é está na base da demonstração do teorema/fórmula de Taylor, do teorema de Cauchy (que não são mais do que generalizações do teorema de Lagrange) e o teorema de Cauchy pode ser utilizado por exemplo para demonstrar as famosas regras de L'Hopital e de Cauchy.
Alem do mais, este teorema tem um corolário importante no estudo da monotonia e extremos de funções, e pode ser utilizado para demonstrar o teorema do valor médio para integrais, importante em várias áreas .

Por isto mesmo considero o Teorema do valor médio de Lagrange que (espero que) ainda é ensinado em todas as licenciaturas com cadeiras de Análise Matemática um dos mais importantes em Análise (Mesmo que não passe de um caso particular do teorema de Cauchy... que pode ser demonstrado a partir do Teorema de Lagrange)
Claro que fica mal não o enunciar aqui... por isso cá vai:

Se f é uma função contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[ então existe pelo menos um ponto c em ]a,b[ tal que:

f'(c)=	f(b)-f(a)
	b-a

Geometricamente, significa que existe um ponto c em ]a,b[ onde passa uma tangente paralela à secante (que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) ).