Números Tridimensionais?

Motivado pelo facto de o espaço dos complexos ter dimensão 2, o Irlandês William Hamilton tentou generalizar o conceito de número até à terceira dimensão, algo que não conseguiu..

A soma e subtracção destes "números" seria naturalmente feita "coordenada a coordenada", mas, definir um produto que generalizasse o produto dos complexos não era tarefa fácil.

Este conjunto seria constituido por elementos da forma

t=a+bi+cj

onde i²=-1, e a,b,c fossem reais. Desconhecem-se propriedades do elemento j.

Sería de esperar que o produto gozasse das propriedades habituais dos anteriores conjuntos numéricos. Assim, em particular, seria de esperar que os produtos ij e jj fossem elementos da forma a+bi+cj.
Ora se suposermos que este produto é associativo e que

ij=a+bi+cj

ao multiplicarmos cada membro da igualdade anterior por i teremos

-j=ai-b+cij=ai-b+c(a+bi+cj)=ai-b+ac+bci+ c ²j=ac-b+(a+bc) i+c ²j.

ou seja

-j=ac-b+(a+bc) i+c²j

Mas isto obriga em particular a que c ²=-1 o que é impossível visto que a,b e c são números reais. Isto deixa claro que não existe, a 3 dimensões, um produto com as características desejadas...