Outra vez o ponto fixo do coseno...

Se vos pusessem a questão:
Justifique que para todo o x₀ em IR a sucessão
x_k+1=cos x_k converge... como responderiam?

Há quem não aceite a resposta:
"Ao fim de duas iterações estamos sempre em [cos 1, 1] e nesse intervalo a função f(x)=cos x é uma contracção. O teorema do ponto fixo de Banach (ou princípio da contracção) garante a convergência da sucessão a partir daqui"

Outra hipotese seria justificar que
y₀=x₂
y_k+1=cos y_k
converge pelo teorema do ponto fixo de Banach...

Contestem-me... dêm-me a vossa opinião.
Quem quiser ser tremendamente rigoroso ... será que conseguia resolver isto sem recorrer a derivadas ou ao teorema de Bolzano?