Problema 0: O volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide é , como se sabe, um terço do produto da área da base pela altura.

1. Demonstre-o sem recorrer ao cálculo integral!


2. Demonstre-o recorrendo ao cálculo integral

Quando colocarei uma possível resolução? Algures no futuro... :)

Números Tridimensionais?

Motivado pelo facto de o espaço dos complexos ter dimensão 2, o Irlandês William Hamilton tentou generalizar o conceito de número até à terceira dimensão, algo que não conseguiu..

A soma e subtracção destes "números" seria naturalmente feita "coordenada a coordenada", mas, definir um produto que generalizasse o produto dos complexos não era tarefa fácil.

Este conjunto seria constituido por elementos da forma

t=a+bi+cj

onde i²=-1, e a,b,c fossem reais. Desconhecem-se propriedades do elemento j.

Sería de esperar que o produto gozasse das propriedades habituais dos anteriores conjuntos numéricos. Assim, em particular, seria de esperar que os produtos ij e jj fossem elementos da forma a+bi+cj.
Ora se suposermos que este produto é associativo e que

ij=a+bi+cj

ao multiplicarmos cada membro da igualdade anterior por i teremos

-j=ai-b+cij=ai-b+c(a+bi+cj)=ai-b+ac+bci+ c ²j=ac-b+(a+bc) i+c ²j.

ou seja

-j=ac-b+(a+bc) i+c²j

Mas isto obriga em particular a que c ²=-1 o que é impossível visto que a,b e c são números reais. Isto deixa claro que não existe, a 3 dimensões, um produto com as características desejadas...

Identificação de um número complexo com uma matriz

Como se sabe, todo o complexo z pode ser representado na forma

z = ρ(cos θ+ i sin θ)

Onde ρ é um real não negativo e θ um real pertencente a ] −π ,π ].
Tambem se sabe que:

• Existe uma correspondência entre z e o vector do plano de coordenadas(ρ cosθ, ρ sin θ).
• o produto de dois complexos
  
  z₁= ρ₁(cos θ₁ + i sin θ₁)
  z₂ = ρ₂(cos θ₂ + i sin θ₂)
  
  é dado pela fórmula de Moivre
  
  z₁z₂ = ρ₁ρ₂(cos (θ₁+θ₂) + i sin (θ₁+θ₂))

Esta última fórmula indica-nos que uma função definida no conjunto dos complexos por

f(z) = w · z

onde w =ρ_w(cos α + i sin α) corresponde no plano à composição de uma homotetia de razão ρ_w e centro (0, 0) com uma rotação de centro (0, 0) e amplitude α.

A aplicação S_w resultante desta composição é uma semelhança do plano que tem uma particularidade: é uma aplicação linear (o que eu afirmar sem demonstrar, a demonstração fica como exercício).
Sendo uma aplicação linear podemos construir a sua matriz na base canónica...

S_w (1, 0) = (ρ_w cos α,ρ_w sin α)
S_w (0, 1) = (−ρ_w sin α,ρ_w cos α)

logo a matriz M_w de S_w é:

Assim sendo podemos construir uma aplicação Φ que a cada complexo

w =ρ_w(cos α + i sin α)

faz corresponder a matriz

Recorrendo à forma algébrica de um número complexo talvez se tenha um aspecto mais amigável:
A aplicação Φ faz corresponder a cada complexo w = a + bi
a matriz

A aplicação Φ é um isomorfismo, fazendo com que se possa identificar cada complexo w com a correspondente matriz M_w.

Bons exercícios:

• Mostrar que M_z+w=M_z+M_w
• Mostrar que M_z×w=M_z×M_w
  
• Encontrar um isomorfismo análogo a este entre o conjunto dos quaterniões e o conjunto das matrizes com entradas reais.

Até à próxima.

Porquê um Matematiquices 2?

Pela natureza do primeiro Matematiquices, estaria limitado à Matemática básica, o que considero algo castrante.

Os blogs Matematiquices 1 e 2, e o CPcalculadoraJS 2.0 fazem parte da minha intenção de investigar as possibilidades do uso do MathML na web. Ao passo que a CPcalculadoraJS gerará o código MathML automaticamente, nos blogs Matematiquices tencionava escrever as fórmulas utilizando MathML.
No entanto, problemas técnicos impedem-me de o fazer nos próximos tempos. Mas assim que tal for possível, prometo que o farei :)
Até lá continuarei a postar recorrendo a truques habituais (utilização de imagens, documentos pdf...etc)