Identificação de um número complexo com uma matriz

Como se sabe, todo o complexo z pode ser representado na forma

z = ρ(cos θ+ i sin θ)

Onde ρ é um real não negativo e θ um real pertencente a ] −π ,π ].
Tambem se sabe que:

• Existe uma correspondência entre z e o vector do plano de coordenadas(ρ cosθ, ρ sin θ).
• o produto de dois complexos
  
  z₁= ρ₁(cos θ₁ + i sin θ₁)
  z₂ = ρ₂(cos θ₂ + i sin θ₂)
  
  é dado pela fórmula de Moivre
  
  z₁z₂ = ρ₁ρ₂(cos (θ₁+θ₂) + i sin (θ₁+θ₂))

Esta última fórmula indica-nos que uma função definida no conjunto dos complexos por

f(z) = w · z

onde w =ρ_w(cos α + i sin α) corresponde no plano à composição de uma homotetia de razão ρ_w e centro (0, 0) com uma rotação de centro (0, 0) e amplitude α.

A aplicação S_w resultante desta composição é uma semelhança do plano que tem uma particularidade: é uma aplicação linear (o que eu afirmar sem demonstrar, a demonstração fica como exercício).
Sendo uma aplicação linear podemos construir a sua matriz na base canónica...

S_w (1, 0) = (ρ_w cos α,ρ_w sin α)
S_w (0, 1) = (−ρ_w sin α,ρ_w cos α)

logo a matriz M_w de S_w é:

Assim sendo podemos construir uma aplicação Φ que a cada complexo

w =ρ_w(cos α + i sin α)

faz corresponder a matriz

Recorrendo à forma algébrica de um número complexo talvez se tenha um aspecto mais amigável:
A aplicação Φ faz corresponder a cada complexo w = a + bi
a matriz

A aplicação Φ é um isomorfismo, fazendo com que se possa identificar cada complexo w com a correspondente matriz M_w.

Bons exercícios:

• Mostrar que M_z+w=M_z+M_w
• Mostrar que M_z×w=M_z×M_w
  
• Encontrar um isomorfismo análogo a este entre o conjunto dos quaterniões e o conjunto das matrizes com entradas reais.

Até à próxima.