Matematiquices 2: Matemática para todos

Outra vez o ponto fixo do coseno...

2008-10-17T19:14:00.003+01:00

Se vos pusessem a questão:
Justifique que para todo o x₀ em IR a sucessão
x_k+1=cos x_k converge... como responderiam?

Há quem não aceite a resposta:
"Ao fim de duas iterações estamos sempre em [cos 1, 1] e nesse intervalo a função f(x)=cos x é uma contracção. O teorema do ponto fixo de Banach (ou princípio da contracção) garante a convergência da sucessão a partir daqui"

Outra hipotese seria justificar que
y₀=x₂
y_k+1=cos y_k
converge pelo teorema do ponto fixo de Banach...

Contestem-me... dêm-me a vossa opinião.
Quem quiser ser tremendamente rigoroso ... será que conseguia resolver isto sem recorrer a derivadas ou ao teorema de Bolzano?

Pesadelos com aplicações lineares.

2008-03-05T21:53:00.005Z

Seja F um espaço linear normado completo, e f uma aplicação linear.
Então se fizermos h->0
|f(x+h)-f(x)|=|f(x)+f(h)-f(x)|=|f(h)|.
Como f é linear, h->0 implica |f(h)|->0.

Será isto sempre verdade?
Bem... se fosse, não faria sentido definirem-se dois espaços duais: O espaço dual algébrico e o espaço dual contínuo!
Por outras palavras: existem aplicações lineares que não são contínuas.
No ano passado houve uma prof no mestrado que me atira à cara:
"ah.. não pode aplicar teoremas da álgebra aqui".
O mal destes profs é que não justificam convenientemente o que dizem.
Simplesmente porque recorrendo a teoremas de álgebra garanti a existência de aplicações lineares que eram necessárias.
Por acaso continuo a achar que naqueles espaços as aplicações lineares são contínuas e que não tinha mais nada a justificar.

Será que eu preciso de professores assim?
Bolas é necessário torturar assim as pessoas? Se uma pessoa não sabe, que tal tentar fazer a pessoa chegar à resposta, tipo... mostrando o caminho!
Bom... agora vem o momento em que me pedem o exemplo de uma aplicação que seja linear mas não seja contínua.
Vão à wikipédia:
Discontinuous Linear Maps

Como virar uma superfície esférica do avesso sem vincar?

2007-11-14T15:42:00.000Z

Vejam aqui
Quem não estiver interessado em detalhes ... pode ver aqui.

Cálculo Diferencial (I).

2007-10-13T12:49:00.000+01:00

Concordo que este blog tem andado um bocado abandonado.
Nos próximos tempos vou tentar redimir-me.
Hoje vou divagar um pouco sobre o cálculo, mas mais específicamente sobre o cálculo diferencial.
Quando entre os séculos XVII e XVIII Newton e Leibnitz criaram o cálculo diferencial ele não tinha muito a ver com o cálculo que conhecemos hoje.
Aliás, as coisas ao que parece nem estavam muito bem definidas.
Hoje em dia, ambos os pontos de vista de Newton e de Leibnitz têm lugar no grandioso mundo da Matemática, mas a simplicidade de qualquer um deles requer uma boa base de conhecimentos. O ponto de vista de Newton é aquele que os alunos aprendem no ensino secundário e nos primeiros anos da Licenciatura. O ponto de vista de Leibnitz... esse, bom. Há quem diga que sempre foi utilizado por físicos e engenheiros que não se importam com o "excessivo" rigor dos matemáticos. Eu não estou aqui para alimentar esse tipo de discussões.
Mas recentemente, nos últimos dois anos, andei a ler um livro de "Análise não standart" onde, tudo é bem rigoroso, e é construído por forma a que essas coisas "sem rigor" passam a fazer todo o sentido. Duvido que Leibnitz alguma vez tenha chegado a pensar no cálculo daquela forma, mas que as ideias dele estiveram próximas daquilo, isso eu não duvido.
Por outro lado, o cálculo de Newton, que está na raiz do cálculo ensinado nas licenciaturas actuais, foi generalizado em várias direcções. Cruzei-me recentemente com uma dessas direcções: com o cálculo diferencial em espaços de Banach. No fundo é uma generalização do cálculo em IR^N, e que supostamente eu devia conhecer da licenciatura. Na verdade não é bem assim, mas não é nada que não se aprenda, e com muito gosto. Mas ojavascript:void(0)
Publicar mensagem grande problema das generalizações, é que se perde sempre qualquer coisa. E neste caso isso não deixa de ser verdade. A abstracção passa a ser muito maior e por vezes não é bem claro o que se passa. Espero que isso passe com o tempo.
Eventualmente, num próximo post, exporei alguns assuntos associados tanto ao cálculo em espaços de Banach como a análise não standart. Até lá, fiquem bem!

Á procura de bases em espaços lineares estranhos... (parte I)

2007-08-27T20:23:00.000+01:00

Recentemente, no mestrado deparei com os espaços que se seguem.
Numa das cadeiras (Elementos Finitos e Aplicações) as bases nem foram dadas, e tive de as deduzir eu... Tive um trabalho muito maior do que aquele que aqui apresento.

O espaço das funções contínuas afins por troços num intervalo.

Graficamente, são funções com o aspecto da figura que se segue.
Só a título de curiosidade, note-se que neste espaço estão todas as funções afins (funções do tipo
f(x)=ax+b
)
logo, é um espaço "grande".

Primeira tentativa

A primeira coisa que fiz, foi o que qualquer aluno de álgebra linear de 1º ano de uma licenciatura pré-bolonhesa faria: tentar obter uma expressão geral para os elementos daquele espaço, e a partir daí deduzir uma base.
Tive sorte. Tive sucesso à primeira tentativa.

Há uma forma mais simples e mais rápida de deduzir as bases destes espaços, principalmente se impusermos condições "de fronteira". Neste momento não a posso escrever por problemas de ordem técnica (Nem tenho um scanner por perto...)

A importancia do teorema do valor médio de Lagrange

2006-08-16T08:42:00.000+01:00

Todos conhecemos teoremas de valores médios. Como os teoremas de Bolzano, de Rolle, de Lagrange, de Cauchy.
Ok, para quem não está a ver o teorema de Bolzano como um teorema de valor médio, que o enuncie assim:

Se f é contínua em [a,b] então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que:
f(c) pertence a [min{f(a),f(b)};max{f(a),f(b)}]

O teorema de Lagrange em particular tem generalizações em espaços de dimensão N e é está na base da demonstração do teorema/fórmula de Taylor, do teorema de Cauchy (que não são mais do que generalizações do teorema de Lagrange) e o teorema de Cauchy pode ser utilizado por exemplo para demonstrar as famosas regras de L'Hopital e de Cauchy.
Alem do mais, este teorema tem um corolário importante no estudo da monotonia e extremos de funções, e pode ser utilizado para demonstrar o teorema do valor médio para integrais, importante em várias áreas .

Por isto mesmo considero o Teorema do valor médio de Lagrange que (espero que) ainda é ensinado em todas as licenciaturas com cadeiras de Análise Matemática um dos mais importantes em Análise (Mesmo que não passe de um caso particular do teorema de Cauchy... que pode ser demonstrado a partir do Teorema de Lagrange)
Claro que fica mal não o enunciar aqui... por isso cá vai:

Se f é uma função contínua em [a,b] e diferenciável em ]a,b[ então existe pelo menos um ponto c em ]a,b[ tal que:

f'(c)=	f(b)-f(a)
	b-a

Geometricamente, significa que existe um ponto c em ]a,b[ onde passa uma tangente paralela à secante (que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) ).

Representação matricial de quaterniões.

2006-04-22T14:13:00.000+01:00

Num post anterior neste blog, mostrei que, uma vez que o produto por um número complexo fixo é uma aplicação linear, se considerarmos a correspondente aplicação em R², a matriz da aplicação é única para cada número complexo fixo.
Mais ainda, a aplicação φ que a cada complexo faz corresponder a sua Matriz é um isomorfismo entre o corpo C dos complexos e φ(C) (com a adição e produto de matrizes).

Pois bem, o mesmo se passa no conjunto dos quaterniões de Hamilton, se considerarmos o isomorfismo canónico entre H e C² mas uma vez que o produto de quaterniões não é comutativo, teremos dois isomorfismos, um para o produto à direita e outro para o produto à esquerda.

O processo pode repetir-se para os octoniões e assim sucessivamente, mas temos de tomar cuidados extra pois estaremos a trabalhar com produtos não comutativos, e o próprio produto matricial tem de ser investigado...

Problema 0: O volume de uma pirâmide

2006-03-24T04:24:00.000Z

O volume de uma pirâmide é , como se sabe, um terço do produto da área da base pela altura.

Demonstre-o sem recorrer ao cálculo integral!

Demonstre-o recorrendo ao cálculo integral

Quando colocarei uma possível resolução? Algures no futuro... :)

Números Tridimensionais?

2006-03-21T15:17:00.000Z

Motivado pelo facto de o espaço dos complexos ter dimensão 2, o Irlandês William Hamilton tentou generalizar o conceito de número até à terceira dimensão, algo que não conseguiu..

A soma e subtracção destes "números" seria naturalmente feita "coordenada a coordenada", mas, definir um produto que generalizasse o produto dos complexos não era tarefa fácil.

Este conjunto seria constituido por elementos da forma

t=a+bi+cj

onde i²=-1, e a,b,c fossem reais. Desconhecem-se propriedades do elemento j.

Sería de esperar que o produto gozasse das propriedades habituais dos anteriores conjuntos numéricos. Assim, em particular, seria de esperar que os produtos ij e jj fossem elementos da forma a+bi+cj.
Ora se suposermos que este produto é associativo e que

ij=a+bi+cj

ao multiplicarmos cada membro da igualdade anterior por i teremos

-j=ai-b+cij=ai-b+c(a+bi+cj)=ai-b+ac+bci+ c ²j=ac-b+(a+bc) i+c ²j.

ou seja

-j=ac-b+(a+bc) i+c²j

Mas isto obriga em particular a que c ²=-1 o que é impossível visto que a,b e c são números reais. Isto deixa claro que não existe, a 3 dimensões, um produto com as características desejadas...

Identificação de um número complexo com uma matriz

2006-03-09T09:49:00.000Z

Como se sabe, todo o complexo z pode ser representado na forma

z = ρ(cos θ+ i sin θ)

Onde ρ é um real não negativo e θ um real pertencente a ] −π ,π ].
Tambem se sabe que:

Existe uma correspondência entre z e o vector do plano de coordenadas(ρ cosθ, ρ sin θ).
o produto de dois complexos
z₁= ρ₁(cos θ₁ + i sin θ₁)
z₂ = ρ₂(cos θ₂ + i sin θ₂)
é dado pela fórmula de Moivre
z₁z₂ = ρ₁ρ₂(cos (θ₁+θ₂) + i sin (θ₁+θ₂))

Esta última fórmula indica-nos que uma função definida no conjunto dos complexos por

f(z) = w · z

onde w =ρ_w(cos α + i sin α) corresponde no plano à composição de uma homotetia de razão ρ_w e centro (0, 0) com uma rotação de centro (0, 0) e amplitude α.

A aplicação S_w resultante desta composição é uma semelhança do plano que tem uma particularidade: é uma aplicação linear (o que eu afirmar sem demonstrar, a demonstração fica como exercício).
Sendo uma aplicação linear podemos construir a sua matriz na base canónica...

S_w (1, 0) = (ρ_wcos α,ρ_w sin α)
S_w (0, 1) = (−ρ_w sin α,ρ_wcos α)

logo a matriz M_w de S_wé:

Assim sendo podemos construir uma aplicação Φ que a cada complexo

w =ρ_w(cos α + i sin α)

faz corresponder a matriz

Recorrendo à forma algébrica de um número complexo talvez se tenha um aspecto mais amigável:
A aplicação Φ faz corresponder a cada complexo w = a + bi
a matriz

A aplicação Φ é um isomorfismo, fazendo com que se possa identificar cada complexo w com a correspondente matriz M_w.

Bons exercícios:

Mostrar que M_z+w=M_z+M_w
Mostrar que M_z×w=M_z×M_w
Encontrar um isomorfismo análogo a este entre o conjunto dos quaterniões e o conjunto das matrizes com entradas reais.

Até à próxima.

Porquê um Matematiquices 2?

2006-03-02T07:14:00.000Z

Pela natureza do primeiro Matematiquices, estaria limitado à Matemática básica, o que considero algo castrante.

Os blogs Matematiquices 1 e 2, e o CPcalculadoraJS 2.0 fazem parte da minha intenção de investigar as possibilidades do uso do MathML na web. Ao passo que a CPcalculadoraJS gerará o código MathML automaticamente, nos blogs Matematiquices tencionava escrever as fórmulas utilizando MathML.
No entanto, problemas técnicos impedem-me de o fazer nos próximos tempos. Mas assim que tal for possível, prometo que o farei :)
Até lá continuarei a postar recorrendo a truques habituais (utilização de imagens, documentos pdf...etc)